小学数学概念及公式大全
覆盖小学 1~6 年级的核心数学概念与公式：整数、小数、分数与百分数、四则运算定律、因数与倍数、比和比例、简易方程、单位换算、平面与立体图形公式、统计与典型应用题，每个知识点配例题和解题过程，并附 16 道小学奥数精选题及解题思路，适合期末复习与日常查阅。
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本文按「数与代数 → 图形与几何 → 统计与概率 → 应用题」的顺序，整理小学 1~6 年级的核心概念与公式。每个知识点尽量配一道典型例题和完整解题过程，方便对照复习。
一、数的认识
1.1 整数
- 自然数：表示物体个数的数叫自然数，即 0、1、2、3、4……0 是最小的自然数，自然数有无限多个。
- 正整数：大于 0 的整数，即 1、2、3、4……
- 计数单位：个、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……
- 数位：计数单位所占的位置叫数位。
- 位数：一个数含有几个数位，就是几位数。
- 数级：从右往左每四位为一级，分别是个级、万级、亿级。
整数数位顺序表：
| 数级 | 数位（从高位到低位） | 计数单位 |
|---|---|---|
| 亿级 | 千亿位、百亿位、十亿位、亿位 | 千亿、百亿、十亿、亿 |
| 万级 | 千万位、百万位、十万位、万位 | 千万、百万、十万、万 |
| 个级 | 千位、百位、十位、个位 | 千、百、十、一（个） |
例题 1：读出 30500600407。
解：先分级：305 | 0060 | 0407，从高位读起：三百零五亿零六十万零四百零七。
读 0 的规则：每级末尾的 0 不读，其他数位连续几个 0 只读一个 0。
例题 2：写出「二十亿三千万零五十」。
解：分级写：20 | 3000 | 0050，即 2030000050。
1.2 小数
- 小数由整数部分、小数点、小数部分组成。
- 小数部分的计数单位：十分之一（0.1）、百分之一（0.01）、千分之一（0.001）……
- 小数的性质：小数的末尾添上 0 或去掉 0，小数的大小不变。
- 小数点移动规律：小数点向右移动一位、两位、三位……小数就扩大到原来的 10 倍、100 倍、1000 倍……；向左移动一位、两位、三位……小数就缩小到原来的 1/10、1/100、1/1000……
- 分类：小数分为有限小数和无限小数。
- 有限小数：小数部分的位数有限，如 0.375。
- 无限小数：小数部分的位数无限，又分为两类：
- 循环小数：从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现的小数，如 0.333…、3.141414…，重复的部分叫循环节。
- 无限不循环小数：小数部分位数无限、且数字不循环的小数，如 π = 3.1415926…。
例题 3：计算 0.05 × 100 和 3.7 ÷ 10；已知一个小数的小数点向右移动两位后是 4.6，原数是多少？
解：0.05 × 100 = 5；3.7 ÷ 10 = 0.37。把 4.6 的小数点向左移动两位，原数是 0.046。
1.3 分数
- 把单位「1」平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫分数。表示其中一份的数叫这个分数的分数单位，如 3/5 的分数单位是 1/5。
- 真分数：分子小于分母的分数（小于 1）。
- 假分数：分子大于或等于分母的分数（大于或等于 1）。
- 带分数：由整数和真分数合成的数，如 2 又 3/4。
- 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0 除外），分数的大小不变。
- 约分：把一个分数化成同它相等、但分子分母都比较小的分数。分子分母只有公因数 1 的分数叫最简分数。
- 通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，一般用各分母的最小公倍数作公分母。
例题 4：把 12/18 化成最简分数。
解：分子、分母同时除以它们的最大公因数 6：12/18 = 2/3。
例题 5：比较 3/4 和 5/6 的大小。
解：通分，公分母为 12：3/4 = 9/12，5/6 = 10/12。因为 9/12 < 10/12，所以 3/4 < 5/6。
1.4 百分数
- 表示一个数是另一个数的百分之几的数叫百分数，也叫百分率或百分比，通常写作 a%，如 45%。
- 百分数不能带单位名称。
- 常见百分率：出勤率、及格率、成活率、发芽率、含糖率、利润率等。
- 公式：百分率 = 部分量 ÷ 总量 × 100%。
例题 6：六（1）班有 50 人，今天出勤 48 人，出勤率是多少？
解：出勤率 = 48 ÷ 50 × 100% = 96%。
1.5 负数初步
- 正数：大于 0 的数，如 +3（简写为 3）。
- 负数：小于 0 的数，在数前加「−」号，如 −3。0 既不是正数也不是负数。
- 应用场景：温度（零上/零下）、海拔（高出/低于海平面）、收支（收入/支出）等。
二、四则运算
2.1 四则运算的意义与各部分关系
| 运算 | 意义 | 各部分之间的关系 |
|---|---|---|
| 加法 | 把两个数合并成一个数的运算 | 和 = 加数 + 加数；一个加数 = 和 − 另一个加数 |
| 减法 | 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算 | 差 = 被减数 − 减数；被减数 = 差 + 减数；减数 = 被减数 − 差 |
| 乘法 | 求几个相同加数的和的简便运算 | 积 = 因数 × 因数；一个因数 = 积 ÷ 另一个因数 |
| 除法 | 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算 | 商 = 被除数 ÷ 除数；被除数 = 商 × 除数；除数 = 被除数 ÷ 商 |
注意事项：
- 0 不能作除数。
- a ÷ 1 = a；a ÷ a = 1（a ≠ 0）；0 ÷ a = 0（a ≠ 0）。
- 有余数的除法：被除数 = 商 × 除数 + 余数，且余数必须小于除数。
例题 7：一个数除以 8，商是 12，余数是 5，这个数是多少？
解：被除数 = 商 × 除数 + 余数 = 12 × 8 + 5 = 101。
2.2 运算定律与性质
| 定律 | 字母表示 | 例子 |
|---|---|---|
| 加法交换律 | a + b = b + a | 3 + 5 = 5 + 3 |
| 加法结合律 | (a + b) + c = a + (b + c) | (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) |
| 乘法交换律 | a × b = b × a | 4 × 25 = 25 × 4 |
| 乘法结合律 | (a × b) × c = a × (b × c) | (25 × 4) × 8 = 25 × (4 × 8) |
| 乘法分配律 | (a + b) × c = a × c + b × c | (4 + 8) × 25 = 4 × 25 + 8 × 25 |
| 减法的性质 | a − b − c = a − (b + c) | 100 − 23 − 37 = 100 − (23 + 37) |
| 除法的性质 | a ÷ b ÷ c = a ÷ (b × c) | 100 ÷ 4 ÷ 25 = 100 ÷ (4 × 25) |
其他常用规律：
- 商不变规律：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0 除外），商不变。
- 末尾有 0 的简便乘法：先把 0 前面的数相乘，再看两个乘数末尾一共有几个 0，就在积的末尾添上几个 0。如 230 × 30：先算 23 × 3 = 69，再添 2 个 0，得 6900。
例题 8：简便计算 99 × 26。
解：99 × 26 = (100 − 1) × 26 = 100 × 26 − 1 × 26 = 2600 − 26 = 2574。
例题 9：简便计算 125 × 32 × 25。
解：把 32 拆成 8 × 4：125 × 8 × 4 × 25 = (125 × 8) × (4 × 25) = 1000 × 100 = 100000。
2.3 运算顺序
- 只有加减或只有乘除（同级运算）：从左往右依次计算。
- 既有加减又有乘除：先算乘除，后算加减。
- 有括号：先算小括号里面的，再算中括号里面的。
例题 10：计算 36 ÷ [(12 − 6) × 3]。
解：先算小括号：12 − 6 = 6；再算中括号：6 × 3 = 18；最后算除法：36 ÷ 18 = 2。
2.4 估算
- 加减估算：把各数看作接近的整十、整百数再口算。
- 乘除估算：把因数或被除数、除数看作整十、整百数。如 49 × 21 ≈ 50 × 20 = 1000。
- 估算策略：判断「够不够」「能不能装下」时，可以往大估（都估大一点）或往小估，用估算结果对照要求更稳妥。
例题 11：妈妈带 200 元，买了一袋 87 元的大米和一桶 98 元的食用油，钱够吗？（用估算判断）
解：把 87 看作 90，98 看作 100，90 + 100 = 190 < 200。往大估了都不超过 200，所以钱一定够。
三、因数与倍数
- 整除：整数 a 除以整数 b（b ≠ 0），商是整数且没有余数，就说 a 能被 b 整除，或 b 能整除 a。
- 因数与倍数：如果 a ÷ b = c（a、b、c 都是非 0 自然数），那么 b 和 c 是 a 的因数，a 是 b 和 c 的倍数。
- 一个数的最小因数是 1，最大因数是它本身；因数的个数是有限的。
- 一个数的最小倍数是它本身，没有最大倍数；倍数的个数是无限的。
- 2 的倍数特征：个位上是 0、2、4、6、8。
- 5 的倍数特征：个位上是 0 或 5。
- 3 的倍数特征：各位上数字之和是 3 的倍数。
- 偶数与奇数：能被 2 整除的数是偶数（0 也是偶数），不能被 2 整除的数是奇数。
- 质数与合数：只有 1 和它本身两个因数的数是质数（也叫素数）；除了 1 和它本身还有其他因数的数是合数。1 既不是质数也不是合数。最小的质数是 2（也是唯一的偶质数），最小的合数是 4。
- 100 以内的质数共 25 个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
- 分解质因数：把一个合数写成几个质数相乘的形式，如 60 = 2 × 2 × 3 × 5。
- 最大公因数：几个数公有的因数中最大的一个，如 (24, 36) = 12。
- 最小公倍数：几个数公有的倍数中最小的一个，如 [24, 36] = 72。
- 互质数：公因数只有 1 的两个数，如 8 和 9。
例题 12：用短除法求 24 和 36 的最大公因数和最小公倍数。
解：
2 | 24 36 2 | 12 18 3 | 6 9 └──────── 2 3商 2 和 3 互质，停止。 最大公因数 = 2 × 2 × 3 = 12； 最小公倍数 = 12 × 2 × 3 = 72。
例题 13：五（1）班同学做操，6 人一行或 8 人一行都正好排完，这个班至少有多少人？
解：人数既是 6 的倍数又是 8 的倍数，最少就是它们的最小公倍数。[6, 8] = 24，所以这个班至少有 24 人。
四、分数、小数、百分数的互化与运算
4.1 互化方法
- 小数化分数：一位小数写成十分之几，两位小数写成百分之几，再约分。如 0.25 = 25/100 = 1/4。
- 分数化小数：用分子除以分母。如 3/8 = 3 ÷ 8 = 0.375。
- 小数化百分数：小数点向右移动两位，末尾添上「%」。如 0.6 = 60%。
- 百分数化小数：去掉「%」，小数点向左移动两位。如 75% = 0.75。
- 分数化百分数：先化成小数（除不尽时一般保留三位小数），再化成百分数。
4.2 分数加减法
- 同分母分数相加减：分母不变，分子相加减。a/c ± b/c = (a ± b)/c。
- 异分母分数相加减：先通分，再按同分母分数加减法计算。
- 带分数相加减：整数部分和分数部分分别相加减；分数部分不够减时，从整数部分「借 1」。
例题 14：计算 5/6 − 1/4。
解：通分：5/6 = 10/12，1/4 = 3/12，10/12 − 3/12 = 7/12。
4.3 分数乘法
- 分数乘整数（或整数乘分数）：分子与整数相乘的积作分子，分母不变，能约分的先约分。
- 分数乘分数：分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。a/b × c/d = ac/bd。
例题 15：计算 3/5 × 2/3。
解：先交叉约分：3/5 × 2/3 = (1 × 2)/(5 × 1) = 2/5。
4.4 分数除法
- 倒数：乘积是 1 的两个数互为倒数。1 的倒数是 1，0 没有倒数。
- 分数除法法则：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。a/b ÷ c/d = a/b × d/c。
例题 16：计算 5/6 ÷ 3/4。
解：5/6 ÷ 3/4 = 5/6 × 4/3 = 20/18 = 10/9。
4.5 小数四则运算法则
- 小数加减法：把小数点对齐（相同数位对齐），再按整数加减法计算，得数的小数点要与上面的小数点对齐。
- 小数乘法：先按整数乘法算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点（位数不够时用 0 补足）。
- 小数除法：除数是整数时，商的小数点要和被除数的小数点对齐；除数是小数时，先把除数化成整数，被除数的小数点同时向右移动相同的位数，再计算。
例题 17：计算 1.25 × 0.8 和 7.56 ÷ 0.18。
解：1.25 × 0.8：先算 125 × 8 = 1000，因数中共 2 + 1 = 3 位小数，得 1.000 = 1。 7.56 ÷ 0.18：小数点同时右移两位，转化为 756 ÷ 18 = 42，即 7.56 ÷ 0.18 = 42。
五、比和比例
5.1 比
- 两个数相除又叫两个数的比。a : b = a ÷ b，a 叫前项，b 叫后项，「:」叫比号。
- 比值：比的前项除以后项所得的商。
- 比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0 除外），比值不变。
- 化简比：利用比的基本性质把比化成最简整数比。
例题 18：求 0.75 : 1.5 的比值，并化简比。
解：比值 = 0.75 ÷ 1.5 = 0.5 = 1/2。 化简：0.75 : 1.5 = (0.75 × 100) : (1.5 × 100) = 75 : 150 = 1 : 2。
5.2 比例
- 表示两个比相等的式子叫比例。如 a : b = c : d，a 和 d 叫外项，b 和 c 叫内项。
- 比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，即 a × d = b × c。
- 解比例：根据比例的基本性质，把比例式转化为方程再求解。
例题 19：解比例 3 : x = 5 : 10。
解：由比例的基本性质得 5x = 3 × 10 = 30，所以 x = 6。
5.3 正比例与反比例
- 正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，就成正比例关系：y/x = k（一定）。
- 反比例：如果相对应的两个数的积一定，就成反比例关系：xy = k（一定）。
例题 20：总价一定，单价和数量成什么比例？
解：单价 × 数量 = 总价（一定），乘积一定，所以单价和数量成反比例。
5.4 比例尺
- 图上距离与实际距离的比叫比例尺：比例尺 = 图上距离 ÷ 实际距离。
- 形式：数值比例尺（如 1 : 500000）和线段比例尺。
例题 21：在比例尺 1 : 4000000 的地图上，甲、乙两地相距 5 cm，实际距离是多少千米？
解：实际距离 = 5 × 4000000 = 20000000 cm = 200 km。
5.5 按比例分配
把一个总量按一定的比分成几部分，叫按比例分配。
- 每份量：每份 = 总量 ÷（比的各项之和）。
- 各部分量：部分 = 每份 × 各自的份数。
例题 22：把 120 个苹果按 2 : 3 分给甲、乙两个班，两班各分到多少个？
解：总份数 = 2 + 3 = 5，每份 = 120 ÷ 5 = 24 个。甲班 = 24 × 2 = 48 个；乙班 = 24 × 3 = 72 个。检验：48 + 72 = 120，符合题意。
六、简易方程
- 等式：等号两边的数值相等的式子，如 3 + 5 = 8。
- 方程：含有未知数的等式，如 3x + 8 = 26。
- 等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个非 0 的数，等式仍然成立。
- 一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1 的等式，如 3x + 8 = 26。解一元一次方程的一般方法：设未知数 x → 根据数量关系列出含 x 的算式 → 解方程求出 x。
- 代数与代数式：用字母代替数就是代数；用字母表示的式子叫代数式，如 3x、ab + c。
- 解方程的一般步骤：写「解」→ 化简或移项 → 求出未知数的值 → 检验。
例题 23：解方程 3x + 8 = 26。
解：3x = 26 − 8 = 18，x = 18 ÷ 3 = 6。检验：3 × 6 + 8 = 26，成立。
例题 24：妈妈买了 5 kg 苹果和 3 kg 梨，共花 44 元。苹果每 kg 5.2 元，梨每 kg 多少元？
解：设梨每 kg x 元。列方程：5.2 × 5 + 3x = 44，即 26 + 3x = 44，3x = 18，x = 6。答：梨每 kg 6 元。
七、常见的量与单位换算
换算口诀：大单位化小单位，乘进率；小单位化大单位，除以进率。
7.1 长度单位
| 单位 | 换算关系 |
|---|---|
| 千米（km） | 1 km = 1 公里 = 1000 m |
| 米（m） | 1 m = 10 dm = 100 cm |
| 分米（dm） | 1 dm = 10 cm |
| 厘米（cm） | 1 cm = 10 mm |
7.2 面积单位
| 单位 | 换算关系 |
|---|---|
| 平方千米（km²） | 1 km² = 100 公顷 |
| 公顷 | 1 公顷 = 10000 m² |
| 平方米（m²） | 1 m² = 100 dm² = 10000 cm² |
| 平方分米（dm²） | 1 dm² = 100 cm² |
| 平方厘米（cm²） | 1 cm² = 100 mm² |
| 亩 | 1 亩 ≈ 666.67 平方米 |
7.3 体积与容积单位
| 单位 | 换算关系 |
|---|---|
| 立方米（m³） | 1 m³ = 1000 dm³ = 1000 L |
| 立方分米（dm³） | 1 dm³ = 1000 cm³ |
| 立方厘米（cm³） | 1 cm³ = 1000 mm³ |
| 升（L） | 1 L = 1 dm³ = 1000 mL |
| 毫升（mL） | 1 mL = 1 cm³ |
7.4 质量单位
| 单位 | 换算关系 |
|---|---|
| 吨（t） | 1 t = 1000 kg |
| 千克（kg） | 1 kg = 1 公斤 = 1000 g |
| 公斤与市斤 | 1 公斤 = 2 市斤 |
7.5 时间单位
| 单位 | 换算关系 |
|---|---|
| 世纪 | 1 世纪 = 100 年 |
| 年 | 1 年 = 12 个月 |
| 日 | 1 日 = 24 时 |
| 时 | 1 时 = 60 分 = 3600 秒 |
| 分 | 1 分 = 60 秒 |
| 项目 | 说明 |
|---|---|
| 大月（31 天） | 1、3、5、7、8、10、12 月 |
| 小月（30 天） | 4、6、9、11 月 |
| 平年 | 2 月 28 天，全年 365 天 |
| 闰年 | 2 月 29 天，全年 366 天 |
7.6 人民币单位
| 单位 | 换算关系 |
|---|---|
| 元 | 1 元 = 10 角 = 100 分 |
| 角 | 1 角 = 10 分 |
例题 25：3.6 公顷 = （ ）平方米；45 分 = （ ）时。
解：3.6 × 10000 = 36000 平方米；45 ÷ 60 = 0.75 时。
八、几何初步：线与角
8.1 直线、射线、线段
- 直线：没有端点，向两端无限延伸，不可度量。
- 射线：有一个端点，向一端无限延伸，不可度量。
- 线段：有两个端点，可以度量。两点之间，线段最短。
8.2 角
- 从一点引出两条射线所组成的图形叫角。
- 角的大小与两条边张开的程度有关，与边的长短无关。
- 角的分类：锐角（大于 0° 小于 90°）、直角（等于 90°）、钝角（大于 90° 小于 180°）、平角（等于 180°）、周角（等于 360°）。
- 关系：1 周角 = 2 平角 = 4 直角。
例题 26：一个角是 45°，它是什么角？它的 2 倍是什么角？
解：45° 大于 0° 小于 90°，是锐角；45° × 2 = 90°，所以它的 2 倍是直角。
8.3 垂直与平行
- 在同一平面内，不相交的两条直线互相平行，记作 a ∥ b。
- 两条直线相交成直角时，就说这两条直线互相垂直，交点叫垂足，记作 a ⊥ b。
- 从直线外一点到这条直线的所有连线中，垂线段最短。
九、平面图形
9.1 周长与面积公式汇总
| 图形 | 周长 C | 面积 S |
|---|---|---|
| 长方形（长 a，宽 b） | C = 2(a + b) | S = ab |
| 正方形（边长 a） | C = 4a | S = a² |
| 平行四边形（底 a，高 h） | — | S = ah |
| 三角形（底 a，高 h） | — | S = ah ÷ 2 |
| 梯形（上底 a，下底 b，高 h） | — | S = (a + b)h ÷ 2 |
| 圆（半径 r，直径 d） | C = πd = 2πr | S = πr² |
| 圆环（外半径 R，内半径 r） | — | S = π(R² − r²) |
| 扇形（圆心角 n°，半径 r） | 弧长 l = nπr ÷ 180 | S = nπr² ÷ 360 = lr ÷ 2 |
常用 π 的倍数：π ≈ 3.14，2π ≈ 6.28，3π ≈ 9.42，4π ≈ 12.56，5π ≈ 15.7，6π ≈ 18.84，7π ≈ 21.98，8π ≈ 25.12，9π ≈ 28.26。
9.2 平面图形的重要性质
- 三角形内角和是 180°。
- 三角形按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边分：等腰三角形、等边三角形（正三角形）、不等边三角形。
- 三角形三边关系：任意两边之和大于第三边。
- 等底等高的三角形面积相等；等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半。
- 长方形有 2 条对称轴，正方形有 4 条对称轴，等腰三角形有 1 条对称轴，等边三角形有 3 条对称轴，圆有无数条对称轴。
- 直径与半径的关系：d = 2r，r = d ÷ 2。
例题 27：一个三角形底 8 cm，高 5 cm，面积是多少？
解：S = 8 × 5 ÷ 2 = 20 cm²。
例题 28：一个圆的半径是 3 cm，它的周长和面积各是多少？
解：C = 2πr = 2 × 3.14 × 3 = 18.84 cm；S = πr² = 3.14 × 3² = 3.14 × 9 = 28.26 cm²。
例题 29：一个圆环，外圆半径 5 cm，内圆半径 3 cm，求圆环面积。
解：S = π(R² − r²) = 3.14 × (5² − 3²) = 3.14 × (25 − 9) = 3.14 × 16 = 50.24 cm²。
例题 30：等腰三角形的一个底角是 40°，顶角是多少度？
解：180° − 40° × 2 = 100°，顶角是 100°。
9.3 组合图形的面积
- 分割法：把组合图形分成几个基本图形，分别求面积再相加。
- 添补法：把组合图形补成一个大的基本图形，用大面积减去补上的部分。
例题 31：一个长 10 cm、宽 6 cm 的长方形纸板，剪去一个边长 3 cm 的正方形，剩下部分的面积是多少？
解：长方形面积 = 10 × 6 = 60 cm²；正方形面积 = 3 × 3 = 9 cm²。剩下的面积 = 60 − 9 = 51 cm²。
十、立体图形
| 图形 | 表面积 S表 | 体积 V |
|---|---|---|
| 长方体（长 a，宽 b，高 h） | S = 2(ab + ah + bh) | V = abh |
| 正方体（棱长 a） | S = 6a² | V = a³ |
| 圆柱（底面半径 r，高 h） | S = 2πr² + 2πrh（侧面积 = 2πrh = πdh） | V = πr²h |
| 圆锥（底面半径 r，高 h） | — | V = πr²h ÷ 3 |
要点：
- 圆柱的侧面沿高展开是一个长方形：长 = 底面周长，宽 = 圆柱的高。
- 圆锥的体积是与它等底等高圆柱体积的 1/3。
- 长方体（或正方体）的体积 = 底面积 × 高，即 V = Sh。
- 常用进率：1 m³ = 1000 dm³ = 1000000 cm³。
例题 32：一个长方体长 5 cm、宽 4 cm、高 3 cm，求它的表面积和体积。
解：S = 2 × (5×4 + 5×3 + 4×3) = 2 × (20 + 15 + 12) = 94 cm²；V = 5 × 4 × 3 = 60 cm³。
例题 33：一个圆柱底面半径 2 dm，高 5 dm，体积是多少？
解：V = πr²h = 3.14 × 2² × 5 = 3.14 × 4 × 5 = 62.8 dm³。
例题 34：一个圆锥底面半径 3 cm，高 4 cm，体积是多少？
解：V = πr²h ÷ 3 = 3.14 × 3² × 4 ÷ 3 = 37.68 cm³。
十一、图形的运动与位置
- 平移：物体沿直线方向移动，形状和大小不变。
- 旋转：物体绕某一点或轴转动，要明确旋转中心、旋转方向和旋转角度。
- 轴对称：沿对称轴对折后两边完全重合。
- 用数对确定位置：（列，行），先列后行。如（3，2）表示第 3 列、第 2 行。
- 方向：上北下南、左西右东，四个中间方向：东北、东南、西北、西南。
- 图形的放大与缩小：形状不变、大小改变。边长（半径）扩大 n 倍，周长扩大 n 倍，面积扩大 n² 倍。
- 观察物体：从正面、上面和侧面观察由小正方体搭成的立体图形，看到的形状可能不同；判断时先确定看到的行数和列数。
十二、统计与概率
12.1 平均数
- 平均数 = 总数量 ÷ 总份数。
- 总数量 = 平均数 × 总份数。
例题 35：小明语文 92 分，数学 96 分，英语 88 分，三科平均分是多少？
解：(92 + 96 + 88) ÷ 3 = 276 ÷ 3 = 92 分。
12.2 统计表与统计图
- 统计表：把收集到的数据分类整理填入表格，便于查找和比较。
- 条形统计图：用直条长短表示数量多少，便于直接比较。
- 折线统计图：用折线起伏表示数量增减变化，便于看出变化趋势。
- 扇形统计图：用扇形面积表示各部分占总数的百分比，便于看出部分与整体的关系。
12.3 可能性
- 确定事件：「一定」发生或「不可能」发生。
- 不确定事件：「可能」发生。
- 可能性的大小：某类物体数量越多，被抽到的可能性越大；数量相等，可能性相等。
例题 36：盒子里有 3 个红球和 1 个白球（除颜色外完全相同），任意摸一个球，摸到哪种颜色球的可能性大？
解：红球数量多，所以摸到红球的可能性大。
12.4 中位数与众数（选学）
- 中位数：把一组数据按大小顺序排列，处于正中间位置的数；数据个数是偶数时，中位数是中间两个数的平均数。
- 众数：一组数据中出现次数最多的数。
- 平均数易受偏大或偏小数据的影响，这时用中位数或众数代表整体水平更合适。
例题 37：5 名同学一分钟跳绳成绩：120、132、135、140、205，用什么数代表他们的整体水平更合适？中位数是多少？
解：205 明显偏大，平均数会被拉高，用中位数更合适。排序后中间的数是 135，中位数是 135。
十三、应用题常用数量关系
13.1 基本数量关系
| 类型 | 基本式 | 变形一 | 变形二 |
|---|---|---|---|
| 单价、数量、总价 | 单价 × 数量 = 总价 | 总价 ÷ 单价 = 数量 | 总价 ÷ 数量 = 单价 |
| 速度、时间、路程 | 速度 × 时间 = 路程 | 路程 ÷ 速度 = 时间 | 路程 ÷ 时间 = 速度 |
| 工作效率、工作时间、工作总量 | 工作效率 × 工作时间 = 工作总量 | 工作总量 ÷ 工作效率 = 工作时间 | 工作总量 ÷ 工作时间 = 工作效率 |
| 每份数、份数、总数 | 每份数 × 份数 = 总数 | 总数 ÷ 每份数 = 份数 | 总数 ÷ 份数 = 每份数 |
| 1 倍数、倍数、几倍数 | 1 倍数 × 倍数 = 几倍数 | 几倍数 ÷ 1 倍数 = 倍数 | 几倍数 ÷ 倍数 = 1 倍数 |
| 加数、加数、和 | 加数 + 加数 = 和 | 和 − 一个加数 = 另一个加数 | — |
| 被减数、减数、差 | 被减数 − 减数 = 差 | 被减数 − 差 = 减数 | 差 + 减数 = 被减数 |
| 因数、因数、积 | 因数 × 因数 = 积 | 积 ÷ 一个因数 = 另一个因数 | — |
| 被除数、除数、商 | 被除数 ÷ 除数 = 商 | 被除数 ÷ 商 = 除数 | 商 × 除数 = 被除数 |
| 总数、总份数、平均数 | 总数 ÷ 总份数 = 平均数 | 平均数 × 总份数 = 总数 | — |
例题 38：一辆汽车 3 小时行驶 240 km，照这样的速度，5 小时行驶多少千米？
解：先求速度：240 ÷ 3 = 80 km/h；再求路程：80 × 5 = 400 km。
13.2 和差问题
| 所求 | 公式 |
|---|---|
| 较大数 | 较大数 =（和 + 差）÷ 2 |
| 较小数 | 较小数 =（和 − 差）÷ 2 |
例题 39：甲乙两数的和是 40，甲比乙多 6，甲乙两数各是多少？
解：甲 =（40 + 6）÷ 2 = 23；乙 = 40 − 23 = 17。
13.3 和倍问题与差倍问题
| 类型 | 公式 |
|---|---|
| 和倍问题 | 一倍数（较小数）= 和 ÷（倍数 + 1） |
| 差倍问题 | 一倍数（较小数）= 差 ÷（倍数 − 1） |
例题 40：果园里桃树和梨树共 120 棵，桃树的棵数是梨树的 3 倍，两种树各有多少棵？
解：梨树（一倍数）= 120 ÷ (3 + 1) = 30 棵；桃树 = 30 × 3 = 90 棵。
例题 41：爸爸今年 36 岁，儿子今年 8 岁，几年前爸爸的年龄是儿子的 5 倍？
解：年龄差不变：36 − 8 = 28 岁。差倍问题：那年儿子的年龄 = 28 ÷ (5 − 1) = 7 岁，8 − 7 = 1，即 1 年前。检验：1 年前爸爸 35 岁，35 ÷ 7 = 5，符合题意。
13.4 盈亏问题
| 分配情况 | 公式 |
|---|---|
| 一盈一亏 | （盈 + 亏）÷ 两次分配差 = 份数 |
| 两次都盈 | （大盈 − 小盈）÷ 两次分配差 = 份数 |
| 两次都亏 | （大亏 − 小亏）÷ 两次分配差 = 份数 |
例题 42：小朋友们分苹果，每人分 5 个剩 3 个，每人分 6 个缺 4 个，有几个小朋友？几个苹果？
解：人数 =（3 + 4）÷（6 − 5）= 7 人；苹果数 = 5 × 7 + 3 = 38 个。
13.5 植树问题
非封闭线路（全长 = 株距 × 段数）：
| 栽法 | 株数 | 全长 | 株距 |
|---|---|---|---|
| 两端都栽 | 株数 = 段数 + 1 = 全长 ÷ 株距 + 1 | 全长 = 株距 ×（株数 − 1） | 株距 = 全长 ÷（株数 − 1） |
| 只栽一端 | 株数 = 段数 = 全长 ÷ 株距 | 全长 = 株距 × 株数 | 株距 = 全长 ÷ 株数 |
| 两端都不栽 | 株数 = 段数 − 1 = 全长 ÷ 株距 − 1 | 全长 = 株距 ×（株数 + 1） | 株距 = 全长 ÷（株数 + 1） |
封闭线路（环形、方形水池等）：
- 株数 = 段数 = 全长 ÷ 株距。
例题 43：一条路长 100 m，每隔 5 m 栽一棵树（两端都栽），一共栽多少棵树？
解：间隔数 = 100 ÷ 5 = 20，棵数 = 20 + 1 = 21 棵。
13.6 鸡兔同笼
| 假设 | 先求 |
|---|---|
| 假设全是鸡 | 兔的只数 =（总脚数 − 2 × 总头数）÷（4 − 2） |
| 假设全是兔 | 鸡的只数 =（4 × 总头数 − 总脚数）÷（4 − 2） |
例题 44：鸡兔同笼，共有 10 个头、28 只脚，鸡和兔各有多少只？
解：假设全是鸡，脚数为 2 × 10 = 20，比实际少 28 − 20 = 8 只脚。每只兔比鸡多 2 只脚，兔 = 8 ÷ 2 = 4 只，鸡 = 10 − 4 = 6 只。检验：6 × 2 + 4 × 4 = 28，符合题意。
13.7 行程问题
| 问题类型 | 所求 | 公式 |
|---|---|---|
| 相遇问题 | 相遇路程 | 相遇路程 = 速度和 × 相遇时间 |
| — | 相遇时间 | 相遇时间 = 相遇路程 ÷ 速度和 |
| — | 速度和 | 速度和 = 相遇路程 ÷ 相遇时间 |
| 追及问题 | 追及距离 | 追及距离 = 速度差 × 追及时间 |
| — | 追及时间 | 追及时间 = 追及距离 ÷ 速度差 |
| — | 速度差 | 速度差 = 追及距离 ÷ 追及时间 |
| 流水问题 | 顺流速度 | 顺流速度 = 静水速度 + 水流速度 |
| — | 逆流速度 | 逆流速度 = 静水速度 − 水流速度 |
| — | 静水速度 | 静水速度 =（顺流速度 + 逆流速度）÷ 2 |
| — | 水流速度 | 水流速度 =（顺流速度 − 逆流速度）÷ 2 |
例题 45：甲乙两地相距 420 km，两辆汽车同时从两地相向开出，甲车每小时行 60 km，乙车每小时行 80 km，几小时后相遇？
解：420 ÷（60 + 80）= 420 ÷ 140 = 3 小时。
例题 46：小明每分钟走 60 m，妈妈每分钟走 90 m。小明先走 10 分钟，妈妈沿同一路线去追，几分钟后追上？
解：追及路程 = 60 × 10 = 600 m；速度差 = 90 − 60 = 30 m/分；追及时间 = 600 ÷ 30 = 20 分钟。
例题 47：一艘船在静水中的速度是 15 km/h，水流速度是 3 km/h。顺流而下时船速是多少？逆流而上呢？
解：顺流速度 = 15 + 3 = 18 km/h；逆流速度 = 15 − 3 = 12 km/h。
13.8 工程问题
把工作总量看作单位「1」：
| 所求 | 公式 |
|---|---|
| 工作效率 | 工作效率 = 1 ÷ 完成时间 |
| 合作时间 | 合作时间 = 1 ÷（甲的效率 + 乙的效率） |
例题 48：一项工程，甲单独做 10 天完成，乙单独做 15 天完成，两人合作几天完成？
解：甲的效率 = 1/10，乙的效率 = 1/15。合作时间 = 1 ÷（1/10 + 1/15）= 1 ÷ 1/6 = 6 天。
13.9 利息问题
- 利率：利息与本金的比值叫利率。一年的利息与本金的比值叫年利率；一个月的利息与本金的比值叫月利率。
| 所求 | 公式 |
|---|---|
| 利息 | 利息 = 本金 × 利率 × 时间 |
| 本息和 | 本息和 = 本金 + 利息 |
| 税后利息 | 税后利息 = 本金 × 利率 × 时间 ×（1 − 税率） |
注：时间的单位要与利率的单位对应；我国目前暂免征收储蓄存款利息税，具体以当时政策为准。
例题 49：把 2000 元存入银行，年利率 2.5%，存 1 年，到期可得利息多少元？
解：利息 = 2000 × 2.5% × 1 = 50 元。
13.10 浓度问题（选学）
| 所求 | 公式 |
|---|---|
| 溶液的组成 | 溶质的重量 + 溶剂的重量 = 溶液的重量 |
| 浓度 | 浓度 = 溶质 ÷ 溶液 × 100% |
| 溶质重量 | 溶液的重量 × 浓度 = 溶质的重量 |
| 溶液重量 | 溶质的重量 ÷ 浓度 = 溶液的重量 |
例题 50：把 20 g 盐放入 80 g 水中，盐水的浓度是多少？
解：浓度 = 20 ÷（20 + 80）× 100% = 20%。
13.11 利润与折扣问题（选学）
| 所求 | 公式 |
|---|---|
| 利润 | 利润 = 售出价 − 成本 |
| 利润率 | 利润率 = 利润 ÷ 成本 × 100% |
| 涨跌金额 | 涨跌金额 = 本金 × 涨跌百分比 |
| 折扣 | 折扣 = 实际售价 ÷ 原售价 × 100% |
注：折扣 < 1；利润率也可写成 （售出价 ÷ 成本 − 1）× 100%。
例题 51：一件商品成本 80 元，按 100 元售出，利润和利润率各是多少？
解：利润 = 100 − 80 = 20 元；利润率 = 20 ÷ 80 × 100% = 25%。
13.12 归一问题与归总问题
- 归一问题：先求出单一量（每份的数量），再求总量：单一量 = 总量 ÷ 数量，再乘新的数量。
- 归总问题：先求出总量，再求新的单一量或数量：总量 = 单一量 × 数量。
例题 52：3 台拖拉机 4 小时耕地 60 公顷，照这样计算，5 台拖拉机 6 小时耕地多少公顷？
解：1 台 1 小时耕地 60 ÷ 3 ÷ 4 = 5 公顷；5 台 6 小时耕地 5 × 5 × 6 = 150 公顷。
13.13 周期问题
按一定规律循环排列（或循环计算）的问题。
- 先找出一个完整周期的个数和排列顺序，总数 ÷ 周期数 = 商……余数。
- 余数是几，结果就是周期中的第几个；没有余数，就是周期中的最后一个。
例题 53：彩灯按「红、红、黄、绿」的顺序重复排列，第 26 个彩灯是什么颜色？
解：周期是 4 个。26 ÷ 4 = 6……2，余 2，第 26 个是周期中的第 2 个，即红色。
13.14 纳税问题
- 纳税：缴纳的税款叫应纳税额，应纳税额与各种收入（销售额、营业额……）的比率叫税率。
- 应纳税额 = 收入 × 税率。
例题 54：某超市上月营业额 30 万元，按 3% 的税率纳税，应缴税款多少万元？
解：应纳税额 = 30 × 3% = 0.9 万元。
13.15 数学广角（选学）
| 问题 | 方法与结论 |
|---|---|
| 重叠问题（集合） | 两项都参加的人数 = A + B − 总人数（画韦恩图帮助理解） |
| 优化问题（沏茶、烙饼） | 合理安排顺序，能同时做的事同时做，使总时间最短 |
| 找次品 | 把物品尽量平均分成 3 份称重，用的次数最少 |
| 抽屉原理 | n + 1 个物体放进 n 个抽屉，必有一个抽屉至少放进 2 个物体 |
十四、常见易错点提醒
- 0 不能作除数；0 除以任何非 0 的数都得 0。
- 最小的一位数是 1，最小的自然数是 0。
- 判断 3 的倍数看各位数字之和，不是只看个位；同时是 2、3、5 的倍数，要逐一验证三个条件。
- 1 既不是质数也不是合数；2 是最小的质数，也是唯一的偶质数。
- 一个数的因数是有限的（最小 1、最大它本身）；倍数是无限的（最小它本身、没有最大）。
- 大数的读写：每级末尾的 0 不读，其他数位上连续的 0 只读一个；写数时哪一位没有单位就用 0 占位。
- 小数比较大小：先比整数部分，再依次比十分位、百分位……不是位数多的小数就大。
- 小数末尾添 0 或去 0，大小不变但计数单位变了；小数中间的 0 不能去掉（如 3.05 ≠ 3.5）。
- 小数点向右移一位，小数扩大到原来的 10 倍；向左移一位，缩小到原来的 1/10。
- 有余数的除法：余数必须比除数小；余数的单位与被除数相同。
- 运算顺序：先乘除、后加减，有括号先算括号里面的；同级运算从左往右。
- 去括号要变号：a − (b + c) = a − b − c，a ÷ (b × c) = a ÷ b ÷ c。
- 分数加减法要先通分；分数乘除法不需要通分。
- 约分要约到最简分数；假分数要化成带分数或整数。
- 百分数只能表示两个数量的关系，不能带单位名称；出勤率、发芽率、及格率最多是 100%。
- 求「一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）」用除法；求「一个数的几分之几是多少」用乘法。
- 化简比的结果是比的形式，求比值的结果是一个数，两者不能混淆；比的后项不能为 0。
- 解方程必须写「解」，等号对齐，求出 x 后要代回原方程检验。
- 角的大小与两条边的长短无关；平角不是一条直线，周角不是一条射线。
- 三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，否则围不成三角形。
- 三角形、梯形的面积公式要除以 2。
- 半圆的周长 = πr + 2r，不要忘记加上直径。
- 周长用长度单位，面积用面积单位；计算前先判断求的是周长还是面积。
- 圆柱有两个底面；圆锥体积 = 底面积 × 高 ÷ 3，别忘了除以 3，它是等底等高圆柱体积的 1/3。
- 平均数 = 总数 ÷ 总份数；求「增加了百分之几」用增加的量 ÷ 原来的量。
- 植树问题先判断两端是否栽树、是否为环形路线。
- 单位不统一时，先统一单位再计算。
- 相遇问题中两车同时出发才可用「路程 ÷ 速度和」；应用题做完要写「答」并检查单位和结果。
- 四舍五入取近似值用「≈」不能用「=」；「省略万（亿）位后面的尾数」要用「万（亿）」作单位，别忘了写「万（亿）」字。
- 积与因数的大小：一个非 0 数乘大于 1 的数，积比原数大；乘小于 1 的非 0 数，积比原数小。判断大小不用计算。
- 商与被除数的大小：一个非 0 数除以大于 1 的数，商比原数小；除以小于 1 的非 0 数，商比原数大。
- 除数是小数的除法：先把除数转化成整数，被除数的小数点同时向右移动相同的位数，商的小数点要与新被除数的小数点对齐。
- 熟记：25 × 4 = 100、125 × 8 = 1000；用乘法分配律时，(a + b) × c 是分别相乘再相加，不能算成 a × c × b × c。
- 时间的换算不是十进制：0.5 时 = 30 分，不是 50 分；3.5 时 = 3 时 30 分。
- 奇偶运算性质：奇数 + 奇数 = 偶数，偶数 + 偶数 = 偶数，奇数 × 奇数 = 奇数；9、15 等奇数是合数，不是质数。
- 一般的平行四边形不是轴对称图形；等腰三角形有 1 条对称轴，长方形 2 条，正方形 4 条，圆无数条。
- 画高易错：钝角三角形的高在三角形外面；直角三角形中斜边最长。
- 长方形拉成平行四边形：周长不变，面积变小。
- 图形放大与缩小：边长（半径）扩大 n 倍，周长扩大 n 倍，面积扩大 n² 倍，体积扩大 n³ 倍。
- 正方体展开图共 11 种，「田」字形和「凹」字形不能折成正方体。
- 长方体棱长总和 = (a + b + h) × 4，正方体棱长总和 = 12a；求用料一般用表面积，求容器盛水用容积（从里面量）。
- 分数（百分数）应用题先找单位「1」：「是、占、比、相当于」后面的量是单位「1」；单位「1」已知用乘法，未知用除法或列方程。
- 「打八折」是按原价的 80% 出售，不是便宜 80%；「甲比乙多 3 倍」即甲是乙的 4 倍，与「甲是乙的 3 倍」不同。
- 平均数不一定等于其中某个数，可能比部分数大、比部分数小；扇形统计图中各部分百分比之和是 100%。
十五、小学奥数精选题库
说明：以下题目难度高于课本例题，重在体会解题思想（假设、倒推、转化、分类、对应）。建议先独立思考，再看思路与解答。
15.1 速算与巧算
第 1 题：计算 1 + 2 + 3 + … + 100。
思路：首尾配对：1 + 100、2 + 99……共 50 对，每对的和都是 101。等差数列求和公式：和 =（首项 + 末项）× 项数 ÷ 2。
解：(1 + 100) × 100 ÷ 2 = 101 × 50 = 5050。
第 2 题：计算 103 + 98 + 101 + 99 + 104 + 97。
思路：这些数都接近 100，取 100 作基准数，只算每个数与 100 的「浮动量」。
解：6 × 100 + (3 − 2 + 1 − 1 + 4 − 3) = 600 + 2 = 602。
第 3 题：计算 1/(1×2) + 1/(2×3) + 1/(3×4) + … + 1/(9×10)。
思路：裂项相消：1/(n × (n + 1)) = 1/n − 1/(n + 1)，相加时中间项全部抵消。
解：原式 = 1 − 1/2 + 1/2 − 1/3 + … + 1/9 − 1/10 = 1 − 1/10 = 9/10。
15.2 定义新运算
第 4 题：规定 a△b = a × b − a − b，求 3△(4△2)。
思路：新运算只按定义计算，先算括号内。
解：4△2 = 4 × 2 − 4 − 2 = 2；3△2 = 3 × 2 − 3 − 2 = 1。
15.3 还原问题（倒推法）
第 5 题：一个数加上 6，乘 6，减去 6，除以 6，结果还是 6。这个数是多少？
思路：从结果出发，按相反顺序倒推：除变乘、乘变除、加变减、减变加。
解：(6 × 6 + 6) ÷ 6 − 6 = 42 ÷ 6 − 6 = 7 − 6 = 1。验算：(1 + 6) × 6 − 6 = 36，36 ÷ 6 = 6，符合。
15.4 余数问题
第 6 题：一个大于 0 的整数除以 5 余 3，除以 7 余 4，这个数最小是多少？
思路：先列出满足一个条件的数，再逐个用另一条件检验。
解：除以 5 余 3 的数：3、8、13、18、23……其中 18 ÷ 7 = 2……4，符合。这个数最小是 18。
15.5 页码问题
第 7 题：一本书共 120 页，排版时数字「1」一共出现了多少次？
思路：按个位、十位、百位分类统计，不重不漏。
解：个位：1、11、21……111，共 12 次；十位：10～19、110～119，共 20 次；百位：100～120，共 21 次。合计 12 + 20 + 21 = 53 次。
15.6 行程问题进阶
第 8 题：一列长 200 米的火车以每秒 20 米的速度通过一座 600 米的大桥，全部通过需要多少秒？
思路：从车头上桥到车尾离桥，路程 = 桥长 + 车长。
解：(600 + 200) ÷ 20 = 40 秒。
第 9 题：甲、乙两人沿 400 米环形跑道从同一地点同时背向出发，甲每秒跑 6 米，乙每秒跑 4 米，多少秒后两人第一次相遇？
思路：背向而行，每秒两人共走 10 米，相遇时两人合走整整一圈。
解：400 ÷ (6 + 4) = 40 秒。
15.7 牛吃草问题
第 10 题：一片牧场，草每天均匀生长。这片草可供 10 头牛吃 20 天，也可供 15 头牛吃 10 天。25 头牛可以吃多少天？
思路：设每头牛每天吃 1 份草。两次总草量的差就是这段时间新长出的草。
解：10 × 20 = 200 份；15 × 10 = 150 份。草每天新长 (200 − 150) ÷ (20 − 10) = 5 份，原有草 200 − 5 × 20 = 100 份。25 头牛中用 5 头专吃每天新长的草，其余 20 头吃原有的 100 份，可吃 100 ÷ 20 = 5 天。
15.8 方阵问题
第 11 题：一个实心方阵，最外层每边站 10 人。最外层共有多少人？方阵总人数是多少？
思路：数最外层时四个角的人被重复计算，所以每边人数要减 1 再乘 4。
解：最外层 = (10 − 1) × 4 = 36 人；总人数 = 10 × 10 = 100 人。
15.9 图形计数
第 12 题：3 × 3 的方格网（由 4 条横线和 4 条竖线组成）中，一共能数出多少个长方形？
思路：一个长方形由 2 条横线和 2 条竖线唯一确定。4 条横线中任选 2 条有 6 种选法，竖线同理也是 6 种。
解：6 × 6 = 36 个。
15.10 容斥原理
第 13 题：全班 45 人，喜欢语文的 28 人，喜欢数学的 30 人，两科都喜欢的 15 人。两科都不喜欢的有多少人？
思路：先求至少喜欢一科的人数 = 喜欢语文 + 喜欢数学 − 两科都喜欢（都喜欢的人被算了两次）。
解：28 + 30 − 15 = 43 人；45 − 43 = 2 人。
15.11 比赛场次
第 14 题：10 名同学进行单败淘汰赛（输一场即被淘汰），决出冠军一共要比多少场？
思路：每比一场恰好淘汰 1 人，决出冠军只需淘汰除冠军外的 9 人，不必逐轮计算。
解：10 − 1 = 9 场。
15.12 蜗牛爬井
第 15 题：一口井深 10 米，蜗牛从井底向上爬，白天爬上 3 米，晚上滑下 2 米，蜗牛第几天能爬出井口？
思路：最后一天白天一爬即出井，不会再滑下；前面每天只净上爬 3 − 2 = 1 米。
解：10 − 3 = 7 米，前 7 米需要 7 天；第 8 天白天从 7 米爬到 10 米，爬出井口。第 8 天爬出。
15.13 逻辑推理
第 16 题：甲、乙、丙三人中，一位是老师、一位是医生、一位是警察。已知：①甲比医生年龄大；②丙和警察年龄不同；③警察比乙年龄小。他们的职业各是什么？
思路：先确定「谁是警察」：由③乙不是警察，由②丙不是警察，只能是甲；再用年龄关系确定其余两人。
解：甲是警察。由①甲比医生大、由③甲比乙小，得 乙 > 甲 > 医生，所以乙不是医生，乙是老师，丙是医生。检验：乙 > 甲 > 丙，三个条件都成立。
提示：公式重在理解，不要死记硬背。做题时先找数量关系，再选择对应公式，最后检查单位和答案是否合理。